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單位圓（數(shù)學(xué)術(shù)語(yǔ)之一）

次瀏覽 | 更新時(shí)間：2023-05-22

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單位圓

數(shù)學(xué)術(shù)語(yǔ)之一

單位圓指的是平面直角坐標(biāo)系上，圓心為原點(diǎn)，半徑為單位長(zhǎng)度的圓。

基本信息

中文名	單位圓
指的是	圓心為原點(diǎn)，半徑為單位長(zhǎng)度的圓
屬于	數(shù)學(xué)

定義

如果單位圓上的點(diǎn)

位于第一象限，那么x與y是斜邊長(zhǎng)度為1的直角三角形的兩條邊，根據(jù)勾股定理，x與y滿足方程：

單位圓

由于對(duì)于所有的x來(lái)說(shuō)

，并且所有這些點(diǎn)相對(duì)于x軸或者y軸的反射點(diǎn)也都位于單位圓上，因此單位圓上的所有點(diǎn)都滿足上面的方程。

在三角學(xué)中，單位圓通常是指歐幾里德平面直角坐標(biāo)系中圓心為

、半徑為 1 的圓。在教科書中，它常常出現(xiàn)在三角函數(shù)入門的那幾頁(yè)，并且與稱為三角函數(shù)線的幾條線段在一起，用于定義或解釋實(shí)數(shù)的三角函數(shù)值。一般地，在復(fù)平面內(nèi)，n 個(gè) n 次的單位根所對(duì)應(yīng)的點(diǎn)正。

數(shù)學(xué)性質(zhì)

1. 在復(fù)平面（即高斯平面）上，單位圓誘導(dǎo)了著名的歐拉公式和棣莫佛定理。換句話說(shuō)，單位圓上的點(diǎn)表示模長(zhǎng)為1的復(fù)數(shù)，它誘導(dǎo)了復(fù)數(shù)的三角形式和指數(shù)形式之間的關(guān)系。

2. 單位圓上有自然的群結(jié)構(gòu)：即弧度的加法群結(jié)構(gòu)。換句話說(shuō)，就是模長(zhǎng)為1的復(fù)數(shù)集合上有一個(gè)自然的乘法結(jié)構(gòu)。

3. 單位圓誘導(dǎo)了幾何反演變換，這和復(fù)變函數(shù)論的諸多結(jié)論密切相關(guān)。

4. 單位圓是最簡(jiǎn)單的非單連通的拓?fù)淇臻g之一，常記為

. 它的基本群同構(gòu)于整數(shù)群。

5. 單位圓同胚于射影直線，是拓?fù)鋵W(xué)中最基本的研究對(duì)象。這個(gè)同胚映射來(lái)自于從北極點(diǎn)作的球極投影。

6. 單位圓盤到自身的連續(xù)映射一定存在不動(dòng)點(diǎn)。這就是著名的布威勞爾不動(dòng)點(diǎn)定理。

7. 單位圓的群結(jié)構(gòu)誘導(dǎo)了著名的指數(shù)映射，和微分幾何中著名的陳類（也稱陳示性類，因陳省身得名）有著深遠(yuǎn)的聯(lián)系。

應(yīng)用

1. 單位圓廣泛應(yīng)用于三角函數(shù)，對(duì)正弦函數(shù)，余弦函數(shù)，正切函數(shù)等的定義，函數(shù)圖像的繪制有重要作用！

2. 定義三角函數(shù)線

3. 單位圓應(yīng)用于檢測(cè)心率異常與否的一種圖像標(biāo)準(zhǔn)。

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