轉(zhuǎn)動(dòng)慣量（物體繞軸轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)慣性的量度）
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轉(zhuǎn)動(dòng)慣量是物體繞軸轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)慣性的量度，它是經(jīng)典力學(xué)中一個(gè)非常重要的概念。了解物體的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量可以讓我們更好地預(yù)測(cè)物體在旋轉(zhuǎn)運(yùn)動(dòng)中的行為。 轉(zhuǎn)動(dòng)慣量的SI單位是kg·m2，表示物體對(duì)于轉(zhuǎn)軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣性的大小。對(duì)于一個(gè)質(zhì)點(diǎn)，轉(zhuǎn)動(dòng)慣量I等于質(zhì)量m與質(zhì)點(diǎn)到轉(zhuǎn)軸垂直距離r的平方的乘積，即I=mr2。 轉(zhuǎn)動(dòng)慣量是一個(gè)非常重要的物理量，在許多領(lǐng)域都有應(yīng)用，例如機(jī)械工程、航空航天工程等。通過了解物體的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量，我們可以更好地設(shè)計(jì)和控制物體的旋轉(zhuǎn)運(yùn)動(dòng)，以達(dá)到更好的效果。轉(zhuǎn)動(dòng)慣量
物體繞軸轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)慣性的量度
轉(zhuǎn)動(dòng)慣量(Moment of Inertia)，又稱質(zhì)量慣性矩，簡稱慣距，是經(jīng)典力學(xué)中物體繞軸轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)慣性的量度，常用用字母I或J表示。轉(zhuǎn)動(dòng)慣量的SI單位為kg·m2。對(duì)于一個(gè)質(zhì)點(diǎn)，I=mr2，其中，m是其質(zhì)量，r是質(zhì)點(diǎn)和轉(zhuǎn)軸的垂直距離。
基本簡介
轉(zhuǎn)動(dòng)慣量是剛體轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)慣性的量度，其量值取決于物體的形狀、質(zhì)量分布及轉(zhuǎn)軸的位置。剛體的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量有著重要的物理意義，在科學(xué)實(shí)驗(yàn)、工程技術(shù)、航天、電力、機(jī)械、儀表等工業(yè)領(lǐng)域也是一個(gè)重要參量。
電磁系儀表的指示系統(tǒng)，因線圈的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量不同，可分別用于測(cè)量微小電流或電量，譬如檢流計(jì)、沖擊電流計(jì)等。在發(fā)動(dòng)機(jī)葉片、飛輪、陀螺以及人造衛(wèi)星的外形設(shè)計(jì)上，精確地測(cè)定轉(zhuǎn)動(dòng)慣量，都是十分必要的。
對(duì)于質(zhì)量分布均勻，外形不復(fù)雜的物體，可以從其外形尺寸、質(zhì)量分布用公式計(jì)算出相對(duì)于某一確定轉(zhuǎn)軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量。對(duì)于幾何形狀簡單、質(zhì)量分布均勻的剛體可以直接用公式計(jì)算出它相對(duì)于某一確定轉(zhuǎn)軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量。而對(duì)于外形復(fù)雜和質(zhì)量分布不均勻的物體只能通過實(shí)驗(yàn)的方法來精確地測(cè)定物體的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量，因而實(shí)驗(yàn)方法顯得更為重要。
動(dòng)力學(xué)公式
角加速度與合外力矩的關(guān)系：
角動(dòng)量：
剛體的定軸轉(zhuǎn)動(dòng)動(dòng)能：
注意：這只是剛體繞定軸的轉(zhuǎn)動(dòng)動(dòng)能，其總動(dòng)能應(yīng)該再加上質(zhì)心平動(dòng)動(dòng)能。由這一公式，可以從能量的角度分析剛體動(dòng)力學(xué)的問題。
張量定義
剛體繞某一點(diǎn)轉(zhuǎn)動(dòng)的慣性可由慣性張量描述。慣性張量是二階對(duì)稱張量，它完整地刻畫出剛體繞通過該點(diǎn)任一軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量的大小。為了清晰，這里僅給出繞質(zhì)心的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量張量的定義及其在力矩方程中的表達(dá)式。
設(shè)有一個(gè)剛體A，其質(zhì)心為C,剛體A繞其質(zhì)心C的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量張量
轉(zhuǎn)動(dòng)慣量張量的力矩方程：
設(shè)剛體A所受到的繞其質(zhì)心C的合力矩矢量為：
將上面的矢量形式的力矩方程向各個(gè)坐標(biāo)軸投影，或者，更確切地說，與各個(gè)坐標(biāo)軸的單位方向矢量相點(diǎn)乘，就可以獲得各個(gè)坐標(biāo)軸分量方向的標(biāo)量形式的力矩方程。
轉(zhuǎn)動(dòng)慣量張量
測(cè)定方法
測(cè)定剛體轉(zhuǎn)動(dòng)慣量的方法很多，常用的有三線擺、扭擺、復(fù)擺等。實(shí)驗(yàn)室中最常見的是三線擺法，該方法通過扭轉(zhuǎn)運(yùn)動(dòng)測(cè)定物體的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量，其特點(diǎn)是物理圖像清楚、操作簡便易行、適合各種形狀的物體，如機(jī)械零件、電機(jī)轉(zhuǎn)子、槍炮彈丸、電風(fēng)扇的風(fēng)葉等的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量都可用三線擺測(cè)定。這種實(shí)驗(yàn)方法在理論和技術(shù)上有一定的實(shí)際意義。
實(shí)驗(yàn)原理
三線擺是在上圓盤的圓周上，沿等邊三角形的頂點(diǎn)對(duì)稱地連接在下面的一個(gè)較大的均勻圓盤邊緣的正三角形頂點(diǎn)上。當(dāng)上、下圓盤水平三線等長時(shí)，將上圓盤繞豎直的中心軸線轉(zhuǎn)動(dòng)一個(gè)小角度，借助懸線的張力使懸掛的大圓盤繞中心軸作扭轉(zhuǎn)擺動(dòng)。同時(shí)，下圓盤的質(zhì)心O將沿著轉(zhuǎn)動(dòng)軸升降，H是上、下圓盤中心的垂直距離；h是下圓盤在振動(dòng)時(shí)上升的高度；r是上圓盤的半徑；R是下圓盤的半徑；
由于三懸線能力相等，下圓盤運(yùn)動(dòng)對(duì)于中心軸線是對(duì)稱的，僅分析一邊懸線的運(yùn)動(dòng)。用L表示懸線的長度，當(dāng)下圓盤扭轉(zhuǎn)一個(gè)角度α?xí)r，下圓盤的懸線點(diǎn)移動(dòng)到，下圓盤上升的高度為，與其他幾何參量的關(guān)系可作如下考慮。
實(shí)驗(yàn)內(nèi)容
2）測(cè)量下圓盤的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量，并計(jì)算其不確定度
轉(zhuǎn)動(dòng)三線擺上方的小圓盤，使其繞自身軸轉(zhuǎn)一角度α，借助線的張力使下圓盤作扭擺運(yùn)動(dòng)，而避免產(chǎn)生左右晃動(dòng)。自己擬定測(cè)的方法，使周期的測(cè)量不確定度小于其它測(cè)量量的不確定度。利用公式求出，并推導(dǎo)出不確定度傳遞公式計(jì)算的不確定度。
3）測(cè)量圓環(huán)的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量
在下圓盤上放上待測(cè)圓環(huán)，注意使圓環(huán)的質(zhì)心恰好在轉(zhuǎn)動(dòng)軸上，測(cè)量系統(tǒng)的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量。測(cè)量圓環(huán)的質(zhì)量和內(nèi)、外直徑。利用式求出圓環(huán)的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量。并與理論值進(jìn)行比較，求出相對(duì)誤差。
4）驗(yàn)證平行軸定理
將質(zhì)量和形狀尺寸相同的兩金屬圓柱重疊起來放在下圓盤上，注意使質(zhì)心與下圓盤的質(zhì)心重合。測(cè)量轉(zhuǎn)動(dòng)軸通過圓柱質(zhì)心時(shí)，系統(tǒng)的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量。然后將兩圓柱對(duì)稱地置于下圓盤中心的兩側(cè)。測(cè)量此時(shí)系統(tǒng)的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量。測(cè)量圓柱質(zhì)心到中心轉(zhuǎn)軸的距離計(jì)算，并與測(cè)量值比較。
相關(guān)定理
轉(zhuǎn)動(dòng)慣量詳解及物理意義
先說一說轉(zhuǎn)動(dòng)慣量的由來，先從動(dòng)能說起。大家都知道動(dòng)能
把
在這里對(duì)任何物體來說是把物體微分化分為無數(shù)個(gè)質(zhì)點(diǎn)，質(zhì)點(diǎn)與運(yùn)動(dòng)整體的重心的距離為r，而再把不同質(zhì)點(diǎn)積分化得到實(shí)際等效的r，得到
由于某一個(gè)對(duì)象物體在運(yùn)動(dòng)當(dāng)中的本身屬性m和r都是不變的，所以把關(guān)于m、r的變量用一個(gè)變量K代替,
平行軸定理
一個(gè)物體以角速度ω繞固定軸z軸的轉(zhuǎn)動(dòng)同樣可以視為以同樣的角速度繞平行于z軸且通過質(zhì)心的固定軸的轉(zhuǎn)動(dòng)。也就是說，繞z軸的轉(zhuǎn)動(dòng)等同于繞過質(zhì)心的平行軸的轉(zhuǎn)動(dòng)與質(zhì)心的轉(zhuǎn)動(dòng)的疊加。
利用平行軸定理可知，在一組平行的轉(zhuǎn)軸對(duì)應(yīng)的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量中，過質(zhì)心的軸對(duì)應(yīng)的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量最小。垂直軸定理一個(gè)平面剛體薄板對(duì)于垂直它的平面軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量，等于繞平面內(nèi)與垂直軸相交的任意兩正交軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量之和。
表達(dá)式:
轉(zhuǎn)動(dòng)慣量的量綱為L2M，在SI單位制中，它的單位是
垂直軸定理
一個(gè)平面剛體薄板對(duì)于垂直它的平面的軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量，等于繞平面內(nèi)與垂直軸相交的任意兩正交軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量之和，這就是垂直軸定理。
垂直軸定理的表達(dá)式為：
對(duì)于非平面薄板狀的剛體，亦有如下垂直軸定理成立：
剛體對(duì)一軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量，可折算成質(zhì)量等于剛體質(zhì)量的單個(gè)質(zhì)點(diǎn)對(duì)該軸所形成的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量。由此折算所得的質(zhì)點(diǎn)到轉(zhuǎn)軸的距離，稱為剛體繞該軸的回轉(zhuǎn)半徑κ，其公式為
除以上兩定理外，常用的還有伸展定則。伸展定則闡明，如果將一個(gè)物體的任何一點(diǎn)，平行地沿著一支直軸作任意大小的位移，則此物體對(duì)此軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量不變?？梢韵胂?，將一個(gè)物體，平行于直軸地，往兩端拉開。在物體伸展的同時(shí)，保持物體任何一點(diǎn)離直軸的垂直距離不變，則伸展定則闡明此物體對(duì)此軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量不變。伸展定則通過轉(zhuǎn)動(dòng)慣量的定義式就可以簡單得到。
計(jì)算公式
對(duì)于細(xì)桿
當(dāng)回轉(zhuǎn)軸過桿的中點(diǎn)并垂直于桿時(shí)，
當(dāng)回轉(zhuǎn)軸過桿的端點(diǎn)并垂直于桿時(shí)，
式中，m是桿的質(zhì)量，L是桿的長度。
對(duì)于圓柱體
當(dāng)回轉(zhuǎn)軸是圓柱體軸線時(shí)，
對(duì)于細(xì)圓環(huán)
當(dāng)回轉(zhuǎn)軸通過環(huán)心且與環(huán)面垂直時(shí)，
當(dāng)回轉(zhuǎn)軸通過環(huán)邊緣且與環(huán)面垂直時(shí)，
當(dāng)回轉(zhuǎn)軸沿環(huán)的某一直徑時(shí)，
式中，m是細(xì)圓環(huán)的質(zhì)量，R是細(xì)圓環(huán)的半徑。
對(duì)于薄圓盤
當(dāng)回轉(zhuǎn)軸通過中心與盤面垂直時(shí)，
當(dāng)回轉(zhuǎn)軸通過邊緣與盤面垂直時(shí)，
式中，m是薄圓盤的質(zhì)量，R是薄圓盤的半徑。
對(duì)于空心圓柱
當(dāng)回轉(zhuǎn)軸為空心圓柱的對(duì)稱軸時(shí)，
對(duì)于球殼
當(dāng)回轉(zhuǎn)軸為球殼的中心軸時(shí)，
當(dāng)回轉(zhuǎn)軸為球殼的切線時(shí)，
式中，m是球殼的質(zhì)量，R是球殼的半徑。
對(duì)于實(shí)心球體
當(dāng)回轉(zhuǎn)軸為球體的切線時(shí)，
式中，m是球體的質(zhì)量，R是球體的半徑。
對(duì)于立方體
當(dāng)回轉(zhuǎn)軸為立方體的中心軸時(shí)，
當(dāng)回轉(zhuǎn)軸為立方體的棱邊時(shí)，
式中，m是立方體的質(zhì)量，L是立方體的邊長。
對(duì)于長方體
當(dāng)回轉(zhuǎn)軸為長方體中心軸時(shí)，
式中，m是長方體的質(zhì)量，
例題
已知：一個(gè)直徑是80mm的軸，長度為500mm，材料是鋼材。計(jì)算一下，當(dāng)在0.1秒內(nèi)使它達(dá)到500轉(zhuǎn)/分的速度時(shí)所需要的力矩？
分析：知道軸的直徑和長度，以及材料，我們可以查到鋼材的密度，進(jìn)而計(jì)算出這個(gè)軸的質(zhì)量m，由公式
根據(jù)在0.1秒達(dá)到500轉(zhuǎn)/分的角速度，可以算出軸的角加速度
電機(jī)軸可以認(rèn)為是圓柱體過軸線，所以：
解得
代入數(shù)據(jù)得 
單位：
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